导数难题求解 f(x)=x^3+3ax-1,设a=-m^2,当实数M在什么范围变化时,y=...

发布网友发布时间：2024-10-20 13:31

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热心网友时间：2024-12-01 04:34

f(x)=x^3-3m^2x-1
f'(x)=3x^2-6m^2=0
x=±√2m
则x<-√2|m|,x>√2|m|,f'(x)>0, 递增
-√2|m|<x<√2|m|, 递减
所以x=-√2|m|极大，x=√2|m|极小

和y=3有一个交点
则极大值小于3或者极小值大于3，这个可以通过画草图看出来

f(-√2|m|)=-2√2|m|^3+3√2m^2|m|-1<3
2√2|m|^3-3√2m^2|m|+4>0
m<0,则√2m^3>-4,m^3>-2√2,m>-√2
m>=0,√2m^3<4,m<√2
所以-√2<m<√2

f(√2|m|)=2√2|m|^3-3√2m^2|m|-1>3
2√2|m|^3-3√2m^2|m|-4>0
m<0,则√2m^3>4,m^3>2√2,m>√2,不成立
m>=0,√2m^3<-4,m<-√2,不成立

综上
-√2<m<√2

热心网友时间：2024-12-01 04:36

-1/3x^2+x+m^2-1=0有两个不同根，得m^2>1/4,m∈(1/2,+∞) (题中m为正)
若m^2-1<0,则x1>0，于是对于x∈[x1,x2],min{f(x)}=0,f(1)<0，得到m^2<1/3
若m^2-1>0,则x1<0,x2>0
f'(x)=-x^2+2x+m^2-1,f'(x)=0的较小根记为t=1-m
对x∈[x1,x2],min{f(x)}=f(t)
所以f(1)<f(t)
m^2-1/3<-[(2m+1)(1-m)^2]/3<0
此时无解
所以 m∈(1/2,√3/3)