齐次坐标理解

发布网友发布时间：2024-10-19 22:56

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热心网友时间：2024-11-07 01:19

齐次坐标是在计算机图形学领域中非常重要的一个概念。它不仅仅能够用来明确区分向量和点，同时在进行仿射变换时也非常方便。通过齐次坐标，我们可以用更加统一的方式来表示向量和点，其核心思想是用4个代数分量来表示3维几何概念。这样，在坐标系中表达点或向量时，只需额外的第4个分量（即1或0）来区分它们。

具体到表达形式，对于向量v与基oabc，可以通过一组坐标(v1, v2, v3)表示为v = v1a + v2b + v3c；而对于点p，则需利用坐标(p1, p2, p3)，满足p - o = p1a + p2b + p3c。这样，点p实质上是对基的原点o的一个位移，即向量p - o。

将上述表达式用矩阵形式表示，对于向量v和点p分别写作：v = [v1 v2 v3 0] * [a b c o]和p = [p1 p2 p3 1] * [a b c o]。这里[a, b, c, o]是坐标基矩阵，右侧对应着向量或点在基下的坐标。通过这种方式，点与向量就有了不同的矩阵表示。

通过这种齐次坐标表示，向量与点可以在同一基下进行清晰区别，且在进行变换时避免了繁琐的代码重复。例如，平移变换只对点有效，平移了点的相对位置，而向量没有位置属性，因此只能进行旋转与缩放变换。同时，齐次坐标简化了转换过程，只需计算矩阵的逆操作即可完成从一个坐标系到另一个坐标系的转换。

此外，齐次坐标中的额外分量（通常为1或0）使得我们可以表示无穷远的点。对于齐次坐标[a, b, h]，保持a和b不变，h=0时，表示的实际上是点位于某个方向的无穷远处。

综合而言，齐次坐标简化了对三维空间中点与向量的表示方法，提供了统一的框架来处理变换、投影及无穷远点表示，使得在图形学和计算机图形学领域中变得极为实用与重要。