棱长相等的正方体和正四面体的内切球体积之比为?
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发布时间：2024-10-20 01:42
共6个回答
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时间：2024-11-15 18:12
球的体积比就等于3次方内切半径比
求内切球的半径，假设楞长都为1
对于正方体
内切球半径为0.5 这个应该没问题
对于正四面体
可以用体积法求得R（四）
正四面体的体积=底面积×高× （1／3）=底面积×R（四）×（1/3）×4
上面这个式子的几何意义就是把正
四面体分成4相同的小正四面体。
其分割方法是沿着内切球球心和大
正四面体的各顶点的连线
这个思想在中学数学求解内切问题时
时常用到，应该积累下来
剩下的就是计算了
最后算得 比值为6倍的根号6
热心网友
时间：2024-11-15 18:09
那么，
正方体的内切球的半径为 a，体积为 π *a^3
正四面体的内切球半径为√3a/3 ，体积为 π *（√3a/3)^3 =√3 π/3
所以，体积比为： π *a^3 ：（√3a^3 π/3）=√3 ：1
正四面体的内切球半径求法：
http://www.qikan.com.cn/Article/zxsh/zxsh200801/zxsh20080113.html
正方体的内切球的半径求法：
http://zhidao.baidu.com/question/99793775.html
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时间：2024-11-15 18:10
则：
正方体 r1=a/2
正四面体 r2=(a√6)/12
V=4πr³/3
V1/V2=(a/2)³/[(a√6)/12]³ 4π/3已约去
=√6/36
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时间：2024-11-15 18:12
显然正方体的内切球半径=1/2
正四面体内切球的半径
=正四面体体积/正四面体表面积*3
=1/3*底面积*高/(底面积*4)*3
=高/4
设正四面体ABCD，底面△BCD的重心为O，则AO为正四面体的高
BO=1/2/cos30°=√3/3
AO=√(AB²-BO²)=√(1-1/3)=√6/3
所以正四面体内切球的半径=AO/4=√6/12
棱长相等的正方体和正四面体的内切球半径之比=1/2:√6/12=√6:1
所以体积之比=6√6:1
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时间：2024-11-15 18:10
R=(1/2)l
正四面体的内切球球心即正四面体的中心
连接中心和四个顶点，正四面体可分成四个全等的正三棱锥，正三棱锥和正四面体底面积相同，体积是正四面体的1/4，所以高h1是正四面体高h的1/4
正四面体的内切球球心球心到一个面的距离即内切球半径r就是正三棱锥的高h1
而正四面体的高h由直角三角形的关系可知
h=(√6/3)l
故r=(1/4)h=(√6/12)l
故V(正方体)/V(正四面体)=(R/r)^3=[(1/2)l/(√6/12)]^3=√6
热心网友
时间：2024-11-15 18:09
正四面体的棱长也为1，其内切球于四个面分别切于各面的中心，
假设其内切球的半径为r2，利用体积法，以各个面为底面，球心为顶点
的四个三棱锥的体积和等于正四面体的体积，所以得到：
4*（1/3）*（√3/4）*r2=（1/3）*（√3/4）*(√6/3);
所以：r2=√6/12；所以体积比为：（r1:r2)³=(6/√6)³=6√6.
(四面体的体积没有详细写，相信你自己再运算一下，一定会很明白的，祝你学习愉快。)
