数学分析:截断函数与Borel引理

发布网友发布时间：2024-10-19 16:38

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热心网友时间：2024-12-03 11:36

对于任意给定的数列，Borel引理确保存在一个光滑函数，使得对于所有，有成立。在正式的证明前，我们首先考虑使用级数构建函数，然而这一想法存在明显漏洞。级数的收敛性难以保证，逐项可微性也难以明确。为解决这一问题，引入截断函数成为关键。

截断函数定义如下：若，则定义，称之为上的截断函数。直观地，这一函数在上光滑，并且在上满足一定性质。通过截断函数，我们可以构造出在0附近的导数值保持不变的函数。我们通过调整截断函数的区间长度，使非0区间按照阶比例缩短，确保在任意点逐点收敛。具体构造如下：

首先设定数列和，随后定义。通过计算得到。当，利用莱布尼兹公式，我们得到。令，若，对于所有，当，有成立，当，注意到，函数级数和在x处仍保持收敛，因此，函数在上逐点收敛。

若令，保持逐点收敛性不变。接下来，说明任意对于，函数在上一致收敛。估计当，函数的上界。注意到，其中。由函数的光滑性和导数非零的闭区间性质，我们得到对于所有n，函数在上一致收敛。因此，函数在上任意一点可以无穷次逐项可微，同时满足，Borel引理成立。