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设函数f(x),对于任何非零实数x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),且f'(1)=2,证...

发布网友 发布时间:2024-10-19 21:41

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热心网友 时间:1天前

设函数f(x)的定义域D为非零实数集

f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0

对任意的非零实数x,f(x+△x)=f(x*(1+△x/x))=f(x)+f(1+△x/x),所以f(x+△x)-f(x)=f(1+△x/x)=f(1+△x/x)-f(1)

[f(x+△x)-f(x)]/△x=[f(1+△x/x)-f(1)]/△x=[f(1+△x/x)-f(1)] / (△x/x) ×1/x,所以

lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/△x = lim(△x→0) [f(1+△x/x)-f(1)] / (△x/x) ×1/x=f'(1)/x=2/x

所以,f(x)在D上可导,且f'(x)=2/x
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