...f‘(x)=1/x,g(x)=f(x)+f’(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值

发布网友 发布时间：2024-10-22 00:11

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热心网友 时间：2024-11-29 20:21

f'(x)=1/x
则f(x)=lnx+C
已知f(1)=ln1+C=0
所以C=0
所以g(x)=lnx+1/x
令g'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²=0
解得x=1
(1) 0<x<1时 g'(x)<0 g(x)单调递减
(2) x>1时 g'(x)>0 g(x)单调递增
当x=1时 g(x)最小=g(1)=ln1 +1=1

热心网友 时间：2024-11-29 20:18

由题意可设f(x)=lnX +a(a为常数） f(1)=ln1+a=0 a=0所以f（x）=lnX
g（x）=lnX+1/x g‘（x）=1/x-1/x^2,令g'(x)=0,则x=1,所以g（x）在【1，正无穷）上单调增，在（0,1】单调减。最小值=g（1）=1

热心网友 时间：2024-11-29 20:26

设函数f(x)定义在(0,正无穷）,f(1)=0,导函数f‘(x)=1/x,g(x)=f(x)+f’(x)（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（1/x）的大小.（3）是否存在x0＞0，使得|g（x）-g(x)|<1/x对任意x＞0成立，若存在求x0的取值
解：(1).g(x)=f(x)+1/x，g′(x)=f′(x)-1/x²=1/x-1/x²=(x-1)/x²
当0<x<1时，g ′(x)<0，故在区间（0，1)内g(x)单调减；当x>1时，g′(x)>0，故在区间(1，+∞）内
g(x)单调增。
(2) f(x)=∫(1/x)dx=lnx+C，当x=1时f(1)=0，故有C=0，于是得f(x)=lnx；g(x)=lnx+1/x.
f(x)-g(x)=lnx-(lnx+1/x)=-1/x<0(因为x>0)，故在（0，+ ∞）内恒有f(x)<g(x).
(3)|g（x）-g(x)|<1/x，这不是要1/x>0吗？因为x∈(0，+∞)，故恒有1/x>0.

热心网友 时间：2024-11-29 20:27

f(1)=0,导函数f‘(x)=1/x，
g(x)=f(x)+f’(x)=lnx+1/x,
g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2,
x>1时g'(x)>0,g(x)↑；
0<x<1时g'(x)<0,g(x)↓。
∴g(x)|min=g(1)=0+1=1.