G是三角形ABC的重心,且AD丄BE于G,已知BC等于a,AC等于b,求AB的长。

发布网友发布时间：2024-10-21 23:07

共2个回答

热心网友时间：2024-11-09 14:44

设DG=m,EG=n,则AG=2m,BG=2n.因为G为重心，所以AD,BE为三角形ABC的两条中线，即点D,E分别为BC,AC的中点，所以BD=1/2BC=1/2a,AE=1/2AC=1/2b.利用勾股定理，2n的平方加m的平方=1/2a的平方，2m的平方加n的平方=1/2b的平方。
整理得5(m方+n方)=1/4*（a方+b方）。则4(m方+n方)=1/5(a方+b方).所以AB=根号1/5的a方加b方

热心网友时间：2024-11-09 14:41

AD、BE都是中线吗？
根据三角形重心的性质，
AG=2AD/3，DG=AD/3,
BG=2BD/3，EG=BD/3,
∵AD⊥BE，
∴△ABG、△BDG和△AEG均是RT△，
根据勾股定理，
AB^2-BG^2=AG^2,
AE^2-DG^2=AG^2,
设AB=c,
c^2-(2BE/3)^2=(b/2)^2-(BE/3)^2,
c^2=b^2/4+BE^2/3,(1)
BD^2=BG^2+DG^2,
(a/2)^2=(AD/3)^2+(2BE/3)^2,(2)
在RT△AGE中，（2AD/3）^2=b^2/4-BE^2/9,
AD^2=(9/4)(b^2/4-BE^2/9),(3)
由（3）式代入（2）式，
a^2/4=(9/4)(b^2/4-BE^2/9)/9+4BE^2/9,
BE^2=(12/5)(a^2-b^2/16),(4)
代入（1）式，
c^2=b^2/4+(1/3)*(12/5)(a^2-b^2/16)
=b^2/4+4a^2/5-b^2/20=4a^2/5+b^2/5,
∴AB=c=(1/5)√（20a^2+5b^2)