...1B1C1D1中,E、F、G分别是CB、CD、CC的中点,求直线A1C与平面ABCD所成...

发布网友 发布时间：2024-10-21 17:24

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热心网友 时间：2024-11-10 20:56

如图，在棱长为ɑ 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB．CD．CC1的中点．
（1）求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B1D1∥平面EFG．

分析：（1）欲求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AC为A1C在平面ABCD的射影，故∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角，最后在直角三角形中求解即得；
（2）欲证平面AB1D1∥平面EFG，根据面面平行的判定定理可知，只须证明线面平行即可．在正方体ABCD-A1B1C1D1中连接BD，则DD1∥BB1，DD1=BB1，利用直线间的平行关系可证得：D1B1∥平面GEF及AB1∥平面GEF，从而问题解决．

解：（1）∵A1C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中A1A⊥平面ABCD

∴AC为A1C在平面ABCD的射影
∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角sinA1A/A1C =√3/3    

正方体的棱长为a

∴AC=2√a，A1C=√3a 

证明：（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中
连接BD，则DD1∥BB1，DD1=BB1，
∴D1DBB1为平行四边形
∴D1B1∥DB
∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD∴EF∥D1B1
∵EF⊂平面GEF，D1B1⊄平面GEF
∴D1B1∥平面GEF
同理AB1∥平面GEF
∵D1B1∩AB1=B1
∴平面AB1D1∥平面EFG．

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热心网友 时间：2024-11-10 20:50

热心网友 时间：2024-11-10 20:48

热心网友 时间：2024-11-10 20:53