如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A(﹣6,0),过点E(﹣2,0...
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发布时间：2024-10-21 20:17
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时间：2024-10-21 20:41
（2）①见解析 ②见解析
（3）8
试题分析：（1）利用正方形与平行线的性质，易求线段EF的长度．
（2）①首先依题意画出图形，如答图1所示．证明△OFH∽△BFG，得 ；由EF∥AB，得 ．所以 。
②由OP=OH，则问题转化为证明 ，根据①中的结论，易得 ，故问题得证。
（3）本问为探究型问题，利用线段性质（两点之间线段最短）解决，如答图2所示，构造矩形，将2PO+PM转化为NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8。
解：（1）在正方形OABC中，∠FOE=∠BOA= ∠COA=45°。
∵EF∥AB，∴∠FEO=∠BAO=90°。∴∠EFO=∠FOE=45°。
又E（﹣2，0），∴EF=EO=2。
（2）①画图，如答图1所示。
证明：∵四边形OABC是正方形，∴OH∥BC。
∴△OFH∽△BFG。∴ 。
∵EF∥AB，∴ 。
∴ 。
②证明：∵半圆与GD交于点P，∴OP=OH。
由①得： ，
又EO=2，EA=OA﹣EO=6﹣2=4，
∴ 。
通过操作、观察可得，4≤BG≤12。
（3）由（2）可得： ，
∴2OP+PM=BG+PM。
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形。
∴NK=BG。
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立。
又∵NK+KM≥MN=8，当点K在线段MN上时，等号成立。
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8。
