抽象代数——环的基础
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发布时间：18小时前
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时间：2024-10-21 15:53
抽象代数：环的基础
环的基础知识
环的定义：设集合和运算与，满足以下条件时称为环：
- 作为集合对运算构成Abel群。
- 对运算封闭。
注记：若环中存在乘法单位元，则称其为幺环。若乘法满足交换律，则称其为交换环。
整环定义：无非零零因子、至少含两个元素的交换幺环称为整环。
整数环是典型整环，证明相对简单。
子环定义：设环，集合若在的加法和乘法下构成环，则称是的子环。
子环作为加法子群，根据群理论有陪集概念，但乘法定义下陪集的乘积未必保持在集合内，因此引入理想概念。
理想定义：设环，集合是的加法子群，且满足左右吸收性（对任意和，有），则称为的理想或双边理想。
根据理想吸收性，可证明在特定集合上构成的加法结构仍满足环的性质。
由理想生成的环：设环的理想集合为，在的加法陪集集合上定义加法和乘法后，仍构成环，称为由生成的理想，记作。
环同态与环同构定义：设环，映射为环同态，若满足一定条件。若环同态为双射，则称其为环同构。
核与像定义：设环同态，其像记作，核记作。
同态基本定理与推论：环同态满足特定性质，可推出环的像与核的性质。
第一与第二同构定理：通过环同态与理想构造的同态，可得到环的等价关系。
整数环实例：整数环的中国剩余定理可推广至幺环，需引入互素概念，整数环中的互素在幺环中同样适用。
积与直积概念：整环理想的积与直和相似，但需考虑乘法特性。
互素定义：整环理想互素的定义在幺环中同样成立。
通过归纳法可证明多个理想间的互素性质。
中国剩余定理推广：在两两互素的理想集上成立，交换幺环下结论更简明。
素理想与极大理想定义：交换幺环的理想满足特定性质时称为素理想或极大理想。
引理证明：域与单环的性质等价于理想的存在性。
定理与推论：交换幺环的极大理想为素理想，极大理想构造域的方法。
多项式环分析：域上的多项式环中，不可约多项式与极大理想关联。
分式域定义：整环通过等价关系构造出其分式域。
通过上述理论，抽象代数的环理论为数学的进一步发展提供坚实基础。
