已知x→0的极限,如何求x→+∞时的极限?
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发布时间：8小时前
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时间：2024-10-21 05:33
求极限
lim(x->0)[√（1+tanx)-√（1+sinx)]/[x√（1+sin²x)-x]
解法一：
先分子有理化：[√(1+tanx)-√(1+sinx)]＝(tanx-sinx) / [√(1+tanx)+√(1+sinx)]，
同理分母中的√(1+sinx^2)-1可有理化为：√(1+sinx^2)-1＝sinx^2 / [√(1+sinx^2)+1]。
[√(1+tanx)+√(1+sinx)]与 / [√(1+sinx^2)+1]的极限都存在，都是2，先计算出来，
所以原极限化为：
原式＝lim(x→0) (tanx-sinx)/(xsinx^2)＝lim(x→0) tanx(1-cosx)/(xsinx^2)＝lim(x→0) x(1/2*x^2)/(x*x^2)＝1/2.
这里用了等价无穷小
解法二：
第一步是分子有理化，第二步是提取tanx和x，第三步是三个无穷小代换，两个括号里的和tanx都可以无穷小代换。
第二行分母的变换1/2sinx^2
也是无穷小代换，当x﹣＞0时
