求证函数fx=sinx/x在区间(π/2,π)上单调递减
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发布时间:2024-10-20 20:15
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热心网友
时间:2024-11-13 14:35
首先,x在(π/2,π)上单调递增,1/x(π/2,π)上单调递减,这个很明显,x递增,1/x递减。
然后,sin(x)在(π/2,π)上单调递减,这个很明显,不用我说了吧。
最后,sin(x)*(1/x)是递减的。也就是两个递减的函数相乘也是递减的。
其实你也可以按照递减函数的定义直接证明,如下:
令x1 < x2,然后:
f(x1)-f(x2) = sin(x1)/x1 - sin(x2)/x2 = (x2*sin(x1) - x1*sin(x2))/ (x1*x2)。
由于分子是(x1*x2),在(π/2,π)上肯定大于0,现在分析分子:
x2*sin(x1) - x1*sin(x2) < x2*sin(x2) - x1*sin(x2) = (x2 - x1)*sin(x2) > 0
最后得到:f(x1)-f(x2) > 0 ,即f(x1) > f(x2),此时的x1 < x2,于是,得到f(x)=sinx/x在区间(π/2,π)上单调递减
同样的,你也可以用f(x1)/f(x2)是否大于1来判断,对于这个题,相除反而简单。