豪斯多夫空间性质
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发布时间：2024-10-21 13:51
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时间：2024-12-13 10:03
豪斯多夫空间具有独特的性质，其中子空间和乘积空间继续保持豪斯多夫特性，[1] 但商空间并不总是如此。所有的拓扑空间都能作为某个豪斯多夫空间的商空间存在。
豪斯多夫空间的一个关键特性是它们是T1空间，意味着单元素集合总是闭集。类似地，预正则空间符合R0条件，即每个点都有一个零邻域。
豪斯多夫空间的一个重要特性是其紧致集合总是闭集，这是非豪斯多夫空间不具备的，例如存在某些T1空间的反例。在豪斯多夫空间中，更深入的性质是任何不相交的紧致子集都能通过邻域分离，这强化了点的特性。
预正则和紧致性常常结合带来更高级的分离性质。例如，局部紧致预正则空间是完全正则的，而紧致预正则空间是正规的，满足Urysohn引理和Tietze扩张定理。豪斯多夫化的这些结论是：局部紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间，而紧致豪斯多夫空间是正规豪斯多夫空间。
对于映射到或来自豪斯多夫空间的情况，也存在一些技术性质。如连续映射 f: X → Y 到豪斯多夫 Y 时，f的像是 X × Y 的闭子集。核 ker(f) 作为 X × X 的子空间，若 f 连续且 Y 是豪斯多夫，则 ker(f) 必须是闭集。此外，如果 f 是开满射且 ker(f) 闭集，那么 Y 本身也必须是豪斯多夫。
如果 f 是连续开满射，即商映射，那么 Y 是豪斯多夫当且仅当 ker(f) 闭合。对于两个连续映射 f,g，若 Y 是豪斯多夫且 f 和 g 在 X 的稠密子集上一致，那么它们在整个 X 上必相等。
如果闭满射 f: X → Y 使得 f-1(y) 对所有 y 都是紧致的，且 X 是豪斯多夫，则 Y 也保持豪斯多夫性质。最后，当 X 是紧致豪斯多夫空间且 f 是商映射时，以下条件等价：Y 是豪斯多夫，f 是闭映射，以及 ker(f) 是闭集。
扩展资料
在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2 空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。
