a+3b=1,求a方+b方的最小值

发布网友发布时间：2024-10-21 00:26

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热心网友时间：2024-12-04 21:16

由两个数的平方和公式可得:

a² + b² = (a+3b)² - 6ab

将已知的a+3b=1代入上式可得:

a²+b² = (1)² - 6ab = 1-6ab

要使a²+b²最小，就要使6ab最大，根据均值不等式：

6ab <= (a+b)²

因此:

a²+b² = 1-6ab >= 1-6(a+b)²/4

令x=a+b，则a+3b=1变为x+2b=1，代入上式可得:

a²+b² >= 1-3x+3x²/4

要使a²+b²最小，只需使右边的式子最小，即取最小值点:

x=1/2

代入上式可得:

a²+b² >= 1/4

因此，a²+b²的最小值为1/4，当且仅当a=3/2，b=-1/2时取到最小值。

热心网友时间：2024-12-04 21:16

简单分析一下，答案如图所示

热心网友时间：2024-12-04 21:16

a²+b²=（1-3b）²+b²=1-6b+10b²
=10（b²-3b/5+9/100 ）+1/10
=10（b-3/10）²+1/10≥1/10
最小值就是1/10