向量——学习笔记
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发布时间：2024-10-21 18:52
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时间：2024-11-05 00:27
向量的恒定性质体现在数量和方向上，与起点和终点位置无关。一个确定的向量无论怎样移动，本质不变，故称为“恒定”，此向量称为自由向量。
向量相等即表示相同数量和方向，不论以何种形式描述，均属于同一向量。
向量大小即向量的模，几何意义上表示为有向线段的长度值。当模为零时，向量称为零向量，代表“不存在的向量”，方向概念失去意义，可认为零向量方向任意。
单位向量是单位长度的向量，对方向没有要求，方向可以通过与参照物的夹角描述。若夹角为零，两向量同向平行；若为90°，则垂直；若为180°，则反向平行。
向量的线性运算包括加减法，加法遵循平行四边形法则、三角形法则，满足交换律、结合律。减法可通过负数的角度理解，定义负向量为与已知向量方向相反、大小相等的向量。
向量加法的几何推导是将其中一个向量变成其负向量，然后相加。两个不等式的成立条件是向量模的和与差。
数乘是向量与实数的乘法，表示为b = λa（λ为实数），描述方向相同或相反、模不同的向量。数乘满足结合律、分配律。
求向量单位向量时，将向量与1的比值即为单位向量，表示为e = a/|a|。
向量平行的充要条件是可进行数乘操作，即向量平行⇔a = λb（λ为实数）。
向量坐标表示在空间直角坐标系中，一般向量可表示为（x，y，z）形式，通过向量的加法、数乘实现。
通过线性运算重新理解向量平行充要条件时，可将向量表示为（x1，y1,z1）与（x2，y2，z2），通过数乘得到平行条件。
向量的方向角与投影分析中，方向角定义为与x、y、z轴的夹角，单位向量可由三个方向余弦构成，满足余弦平方和等于1。方向余弦形成的向量即为单位向量。
