设数列{an}的前n项和为Sn,如果SnS2n为常数,则称数...

发布网友发布时间：2024-10-16 12:17

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热心网友时间：2024-10-16 13:27

解：（Ⅰ）设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），SnS2n=k，因为b1=1，则n+12n(n-1)d=k[2n+12•2n(2n-1)d]，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
因为对任意正整数n上式恒成立，则{d(4k-1)=0(2k-1)(2-d)=0，解得{d=2k=14．
故数列{bn}的通项公式是bn=2n-1．
（Ⅱ）由已知，当n=1时，c13=S12=c12．因为c1＞0，所以c1=1．
当n≥2时，c13+c23+c33++cn3=Sn2，c13+c23+c33++cn-13=Sn-12．
两式相减，得cn3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=cn•（Sn+Sn-1）．
因为cn＞0，所以cn2=Sn+Sn-1=2Sn-cn．
显然c1=1适合上式，所以当n≥2时，cn-12=2Sn-1-cn-1．
于是cn2-cn-12=2（Sn-Sn-1）-cn+cn-1=2cn-cn+cn-1=cn+cn-1．
因为cn+cn-1＞0，则cn-cn-1=1，所以数列{cn}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以SnS2n=n(n+1)2n(2n+1)=n+14n+2不为常数，故数列{cn}不是“科比数列”．