用数学归纳法证明:当x>-1,n∈N+时,(1+x)n≥1+nx

发布网友发布时间：2024-10-15 12:40

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热心网友时间：2024-10-15 15:24

因为（1+x）n≥1+nx为关于n的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；
当n=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，
因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，
则当n=k+1时，
∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k?（1+x）≥（1+kx）?（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，
所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当n=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

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用数学归纳法证明:当x>-1,n∈N+时,(1+x)n≥1+nx