...g(x)与f(x)的图象关于直线x=1对称,若g(x)=a(x﹣2)﹣(x﹣2) 3...
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发布时间：2024-10-15 04:09
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热心网友
时间：2024-11-06 05:54
设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．
则点M关于x=1的对称点（2﹣x，g（2﹣x））在函数g（x）的图象上．
∴f（x）=g（2﹣x）=﹣ax+x 3 ．
（2）f′（x）=﹣a+3x 2 ，又x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0 ﹣a+3=0，得a=3，
故f（x）=﹣3x+x 3 ．f′（x）=﹣3+3x 2 =﹣3（x+1）（x﹣1），
当x∈[﹣1，1]，f′（x）≤0， ∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数．
f min （x）=f（1）=﹣2，f max （x）=f（﹣1）=2，
故对任意x 1 ，x 2 ∈（﹣1，1），有|f（x 1 ）﹣f（x 2 ）|＜|2﹣（﹣2）|=4．
（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=﹣a+3x 2 ＜0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥3x 2 在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；
若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x 2 在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．
设f（x 0 ）＞x 0 ≥1则f[f（x 0 ）]＞f（x 0 ），
∴x 0 ＞f（x 0 ）矛盾，
若x 0 ＞f（x 0 ）≥1则f（x 0 ）＞f[f（x 0 ）]
∴f（x 0 ）＞x 0 矛盾！故f（x 0 ）=x 0 ．
热心网友
时间：2024-11-06 05:49
设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．
则点M关于x=1的对称点（2﹣x，g（2﹣x））在函数g（x）的图象上．
∴f（x）=g（2﹣x）=﹣ax+x 3 ．
（2）f′（x）=﹣a+3x 2 ，又x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0 ﹣a+3=0，得a=3，
故f（x）=﹣3x+x 3 ．f′（x）=﹣3+3x 2 =﹣3（x+1）（x﹣1），
当x∈[﹣1，1]，f′（x）≤0， ∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数．
f min （x）=f（1）=﹣2，f max （x）=f（﹣1）=2，
故对任意x 1 ，x 2 ∈（﹣1，1），有|f（x 1 ）﹣f（x 2 ）|＜|2﹣（﹣2）|=4．
（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=﹣a+3x 2 ＜0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥3x 2 在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；
若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x 2 在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．
设f（x 0 ）＞x 0 ≥1则f[f（x 0 ）]＞f（x 0 ），
∴x 0 ＞f（x 0 ）矛盾，
若x 0 ＞f（x 0 ）≥1则f（x 0 ）＞f[f（x 0 ）]
∴f（x 0 ）＞x 0 矛盾！故f（x 0 ）=x 0 ．
