怎么算∫(x^2+ y^2+ z^2) dV?
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发布时间：2024-10-16 00:55
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时间：2024-11-23 21:37
要计算三重积分∫∫∫(x^2 + y^2 + z^2) dV，其中积分区域由x^2 + y^2 + z^2 = 1围成，可以使用球坐标系来简化积分。球坐标系的变量包括r（径向距离）、θ（极角）和Φ（方位角）。将直角坐标系与球坐标系的转换关系如下：
x = r sin(Φ) cos(θ)
y = r sin(Φ) sin(θ)
z = r cos(Φ)
在球坐标系下，dV 变成了 r^2 sin(Φ) dr dΦ dθ。现在，让我们按照以下步骤来计算这个三重积分：
定义积分*：
对于 r，积分范围是从 0 到 1，因为半径是从球心到边界的距离。
对于 Φ，积分范围是从 0 到 π，因为 Φ 可取从极点到球面的任何角度。
对于 θ，积分范围是从 0 到 2π，因为 θ 可以取整个平面的任何角度。
编写积分表达式：
∫∫∫(x^2 + y^2 + z^2) dV = ∫(from 0 to 1) ∫(from 0 to π) ∫(from 0 to 2π) (r^2 sin(Φ)) r^2 sin(Φ) dr dΦ dθ
计算积分：
首先，计算最内层的积分：
∫(from 0 to 2π) dθ = 2π
然后计算中间层的积分：
∫(from 0 to π) (r^2 sin(Φ))^2 sin(Φ) dΦ = r^2 ∫(from 0 to π) (sin^3(Φ)) dΦ
这个积分需要使用递推公式来计算，最终结果为 (4/3)。
最后计算最外层的积分：
∫(from 0 to 1) (r^2)(4/3) dr = (4/3) * (1/3) = 4/9
将所有层次的积分结果相乘：
(2π) * (4/9) = 8π/9
所以，∫∫∫(x^2 + y^2 + z^2) dV，在由x^2 + y^2 + z^2 = 1围成的区域中的值为 8π/9。
