非线性回归、参数与非参数模型(内含核函数)
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发布时间：2024-10-16 05:40
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时间：2024-12-13 06:08
非线性回归（Non-linear Regression）是一种对数据进行非线性变换的回归分析方法。与线性回归不同，线性回归通常表示为：
\[ y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon \]
其中，\(y\) 是因变量，\(x\) 是自变量，\(\beta_0\) 和 \(\beta_1\) 是参数，\(\epsilon\) 是误差项。而非线性回归的表达式可能如下：
\[ y = f(x) \]
其中 \(f(x)\) 是一个非线性的函数。
在非线性回归中，学习任务就是寻找合适的函数 \(f(x)\) 来拟合数据。通过梯度下降法求解时，需要计算函数的导数。例如，如果 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)，那么它的导数为 \(f'(x) = 2ax + b\)。
非线性回归的求解过程通常涉及到求雅可比矩阵（Jacobian Matrix），这是梯度的一种表达形式，用于描述函数在某点的变化率。在神经网络中，雅可比矩阵对于理解参数的更新和反向传播至关重要。
参数模型与非参数模型是两种不同的回归分析方法。参数模型假设数据服从特定分布，并且分布由参数决定。例如，线性回归模型假设数据服从正态分布。非参数模型则不假设数据的分布形式，而是从数据本身推断出分布特征。在非参数模型中，估计过程更加灵活，适用于未知分布形式的情况。
常见的参数模型包括线性回归和非线性回归，而非参数模型则涵盖了如核回归、k-最优z直方图估计和k近邻估计等方法。
Nadaraya-Watson 核估计是核回归的一种非参数估计方法。它通过核函数度量输入数据与已有数据的相似度，对新数据进行加权求和估计。核函数是一种非负实值函数，需要满足一定的数学性质，如正定性。核函数在非参数模型中扮演了将原始数据映射到更高维度空间的角色，使得计算新数据与原始数据之间的相似度成为可能。
核函数的定义通常涉及从输入空间到特征空间的映射函数，以及内积运算。映射函数将原始数据映射到特征空间，使得在特征空间中的内积可以用来衡量数据之间的相似度。核函数定义了数据在特征空间中的内积，这样就可以在高维甚至无穷维空间中计算相似度，而无需显式定义映射函数。
表征定理（Representer Theorem）表明，对于某些特定的核函数和优化问题，最优解可以表示为训练数据的线性组合。这意味着，即使在高维甚至无穷维空间中，我们可以通过计算核函数值来找到最优解，而无需直接映射到该空间。
常用核函数包括多项式核、高斯核、Sigmoid 核等，它们在机器学习中广泛应用于支持向量机、核聚类、核回归等算法中。这些核函数通过非线性变换，使得线性算法能够处理非线性问题。
