量子力学|定态微扰理论

发布网友发布时间：2024-10-19 08:23

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热心网友时间：2024-10-20 06:06

在物理问题中，体系的能量本征值问题，除了少数案例，如谐振子和氢原子，可以通过严格求解外，大部分体系的能量本征值问题都需要采取近似解法。本篇文章将介绍微扰理论，作为解决这类问题的近似方法之一。

体系的哈密顿量通常可以表示为 H = H₀ + V 的形式，其中 H₀ 代表未受微扰的哈密顿量，V 代表微扰项。我们可以通过将 H 分解为 H₀ 和 V，进而求解能量本征值问题。在经典物理的视角中，微扰项 V 相对于 H₀ 是一个较小的量。

在已知 H₀ 的本征解的基础上，通过逐步考虑 V 的影响，我们可以近似求解体系的哈密顿量 H 的能量本征值。微扰理论的实现方式多种多样，但通常都是围绕着 V 的微小性质进行逐级展开。假设未微扰的哈密顿方程的解已知，并且特征值构成离散谱。引入无量纲参量 α，我们可以通过重新写哈密顿量为 H = H₀ + αV 来处理微扰问题。

在逐级近似过程中，为了方便区别含 V 的各阶近似解，引入参量 α，并考虑系统哈密顿量的各阶近似展开。通过令 α → 0 还原原始系统。

定态微扰理论的基本思想是，假定微扰能量和态都可以展开为 α 的幂级数，并认为在特定情况下该级数是收敛的。通过将特征方程中的微扰项展开，并进行整理，我们可以得到各阶能量修正。具体而言，零次幂对应的公式对应未微扰的哈密顿量 H₀ 的方程。通过左乘零阶波函数，我们可以求得各阶能量修正。

特征方程只能确定特征值的差一个相位，因此需要通过额外条件确定相位差。对于微扰态，我们通常规定归一化，并固定微扰态和零级项的相位差。微扰后，态的模长可以根据展开式计算得到。处理方法取决于未微扰的能级是否兼并。

对于非简并能级的微扰，一级近似时，特征方程和能量修正可以通过已知的零级项来直接计算。通过将零级项左乘公式，我们得到一级能量修正。对于简并能级的微扰，通过解特征方程确定一级线性无关解，并通过施密特正交化方法得到简并子空间的正交归一基。

二级近似时，通过将零级项左乘公式，我们能够进一步求得能量的二级修正。在简并能级的微扰问题中，一级近似解决了特征方程，并通过施密特正交化方法得到简并子空间中的正交归一基。

通过上述分析，我们可以系统地理解微扰理论在解决量子力学体系能量本征值问题时的步骤和方法。微扰理论提供了处理复杂体系能量本征值问题的有效工具，对于物理科学研究具有重要价值。如有不准确之处，欢迎指正。