SVM理解(一)

发布网友发布时间：2024-10-17 23:03

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热心网友时间：2024-11-16 05:07

SVM，全称为支持向量机（Support Vector Machine），是机器学习中一项重要且历史悠久的算法。本文将对SVM的基本概念、数学推导、软间隔问题以及核函数进行深入探讨，旨在为读者提供全面的理解。

一、SVM解决的问题

以示意图为例，假设我们有两类点分布在二维平面上。SVM的目标是找到一条最佳直线，即超平面，将这两类点有效分开。这条直线（超平面）应确保与两类点的最近距离最大。参与决策的那些最近点被称为支持向量。在更高维度空间中，直线被替换为超平面，其核心任务是找到支持向量，从而确定超平面。

二、目标函数及求解过程

1. 超平面表示为：w·x + b = 0，其中w为法向量，b为偏置。任意点到超平面的距离为：|w·x + b| / ||w||。目标是最大化所有支持向量到超平面的距离。

2. 对于线性可分数据集，目标函数为最大化间隔，即求解：max min{||w||, 1 / ||w||}，同时满足对于所有样本点，有y_i(w·x_i + b) >= 1。

3. 将约束条件转换为拉格朗日乘子法，形成对偶问题，目标函数变为：max Σα_i - 1/2ΣΣα_iα_jy_iy_jx_i·x_j，其中α_i为拉格朗日乘子，约束条件为Σα_iy_i = 0，0 ≤ α_i ≤ C。

三、软间隔问题

软间隔允许一定程度的错误容忍，通过引入松弛因子C控制容忍度。目标函数调整为最小化最大化间隔损失函数，同时满足样本点与超平面的距离小于C。

四、核函数

为解决非线性可分问题，引入核函数将低维数据映射到高维空间，使得数据在高维空间线性可分。常见的核函数包括多项式核、径向基核（RBF）等。

五、总结

SVM在机器学习领域拥有广泛的影响力，它结合了数学的严谨性和工程的实用性。了解SVM对于机器学习入门者至关重要。SVM具有强大的分类能力，但在选择核函数和参数调整上需要一定的技巧。随着深度学习的发展，SVM虽然不再是主流，但仍具有其独特价值。