求助高数! 设函数f(x)对任何实数x1,x2有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)且f`(0)
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发布时间：2024-10-17 22:57
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时间：2024-11-30 14:35
f(2x)＝[f(x)]² ①
两边同时对x求导得：
f'(2x)·2＝2f(x)·f'(x)
得：
f'(2x)＝f(x)·f'(x)②
又由①：f(x)＝f(2x)／f(x)
代入②得：f'(2x)＝f(2x)／f(x) ·f'(x)
即：f'(2x)／f(2x)＝f'(x)／f(x)
令g(x)＝f'(x)／f(x) 则：
g(x)＝g(2x) ③
对③式两边同时对x求导：g‘(x)＝g’(2x)·2 ④
∵g(x)＝g(2x) ∴两边同时对x求导后应有：g‘(x)＝g’(2x) ⑤
由④⑤得：g‘(x)＝g’(2x)＝0
∴g(x)＝g(2x)＝常数C
∴f'(x)／f(x) ＝常数C
令x＝0可求得常数C＝1
综上，f`(x)=f(x)
图中的积分不能用初等函数表示
