若α1,α2,……,αm线性无关,则β1,β2,……?

发布网友发布时间：2024-10-18 15:54

共1个回答

热心网友时间：2024-11-26 07:54

用反证法：设α1=(a11,a12,……a1n),α2=(a21,a22,……a2n),……，αm=(am1,am2,……amn),
β1=(a11,a12,……a1n,a1,(n+1),……a1,(n+k)),β2=(a21,a22,……a2n,a2,(n+1),……a2,(n+k)),……，βm=(am1,am2,……amn,am,(n+1),……am,(n+k))
假设α1，α2，……，αm线性无关，而β1，β2，……，βm线性相关
∵β1，β2，……，βm线性相关，∴存在不全为0的c1,c2，……，cm 使得
c1α1+c2α2+……+cmαm=0(向量）
从而：
c1a11+c2a21+……+cmam1=0
c1a12+c2a22+……+cmam2=0
…………
c1a1n+c2a2n+……+cmamn=0
…………
c1a1,(n+k)+c2a2,(n+k)+……+cmam,(n+k)=0
而从前n个等式可推知，α1，α2，……，αm线性相关，与原来的α1，α2，……，αm线性无关矛盾。
∴若α1，α2，……，αm线性无关，则β1，β2，……，βm线性无关，即低维无关,高维也无关。