...a1,a2线性无关,b1,b2线性无关,且a1,a2分别与b1,b2正交,证明a1,a2,b...
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发布时间：2024-10-18 15:54
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热心网友
时间：2024-10-24 22:02
用a1,a2分别与上式两边作内积,
由已知可得以k1,k2为未知量的齐次线性方程组:
k1(a1,a1)+k2(a1,a2)=0
k1(a2,a1)+k2(a2,a2)=0
令A=(a1,a2), 则由 a1,a2 线性无关知 r(A)=2.
所以 r(A^TA) = r(A) = 2.
而 A^TA = [ (a,b)=a^Tb ]
(a1,a1) (a1,a2)
(a2,a1) (a2,a2)
所以上述齐次线性方程组只有零解.
所以 k1=k2=0.
所以有 k3b1+b4b2=0.
而 b1,b2 线性无关
所以 k3=k4=0.
综上有 k1=k2=k3=k4=0.
所以a1,a2,b1,b2线性无关.
事实上, 由于正交向量组是线性无关的
正交关系比线性无关更强.
此题可推广.
热心网友
时间：2024-10-24 22:01
