收敛阶怎么求
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发布时间：2024-10-18 11:12
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时间：2024-11-12 02:13
定义2：对于收敛的迭代法x k + 1 = φ ( x k ) , ( k = 1 , 2 , ? ? ) x_{k+1}=varphi(x_k),(k=1,2,cdots)xk+1?=φ(xk?),(k=1,2,?)，如果存在常数p ≥ 1 , c 0 pgeq 1,c0p≥1,c0，使得l i m k → ∞ e k + 1 e k p = C lim_{k
oinfty}frac{e_{k+1}}{e^p_k}=Climk→∞?ekp?ek+1??=C成立（其中e k = ∣ x k ? x ? ∣ e_k=|x_k-x^*|ek?=∣xk??x?∣），则称该迭代法时p阶（次）收敛的。特别地，当p = 1 p=1p=1时称为线性收敛，p = 2 p=2p=2时称为平方收敛。
例2：讨论一般迭代法x k + 1 = φ ( x k ) , ( k = 1 , 2 , ? ? ) x_{k+1}=varphi(x_k),(k=1,2,cdots)xk+1?=φ(xk?),(k=1,2,?)的收敛速度。
解：令x ? = φ ( x ? ) x^*=varphi(x^*)x?=φ(x?)，所以x k + 1 ? x ? = φ ( x k ) ? φ ( x ? ) x_{k+1}-x^*=varphi(x_k)-varphi(x^*)xk+1??x?=φ(xk?)?φ(x?)。根据中值定理，有x k + 1 ? x ? = φ ( x k ) ? φ ( x ? ) = φ ′ ( ξ ) ( x k ? x ? ) x_{k+1}-x^*=varphi(x_k)-varphi(x^*)=varphi'(xi)(x_k-x^*)xk+1??x?=φ(xk?)?φ(x?)=φ′(ξ)(xk??x?)ξ xiξ为x k x_kxk?与x ? x^*x?之间的某一点。
因为e k + 1 = x x + 1 ? x ? , e k = x k ? x ? e_{k+1}=x_{x+1}-x^*,e_k=x_k-x^*ek+1?=xx+1??x?,ek?=xk??x?，所以当x k x_kxk?在根x ? x^*x?附近时，有e k + 1 = φ ′ ( x ? ) e k e_{k+1}=varphi'(x^*)e_kek+1?=φ′(x?)ek?。
可见，当φ ( x ? ) ≠ 0 varphi(x^*)
eq 0φ(x?)?=0时，一般迭代法x k + 1 = φ ( x k ) , ( k = 1 , 2 , ? ? ) x_{k+1}=varphi(x_k),(k=1,2,cdots)xk+1?=φ(xk?),(k=1,2,?)，具有线性收敛性。
定理3：对于迭代过程x k + 1 = φ ( x k ) x_{k+1}=varphi(x_k)xk+1?=φ(xk?)，如果迭代函数φ ( x ) varphi(x)φ(x)在所求根x ? x^*x?的邻近有连续二阶导数，且∣ φ ′ ( x ? ) 1 ∣ |varphi'(x^*)1|∣φ′(x?)1∣，则有：
（1）当φ ′ ( x ? ) ≠ 0 varphi'(x^*)
eq 0φ′(x?)?=0时，迭代过程为线性收敛；
（2）当φ ′ ( x ? ) = 0 varphi'(x^*)=0φ′(x?)=0，而φ ′ ′ ( x ? ) ≠ 0 varphi''(x^*)
eq 0φ′′(x?)?=0时，迭代过程为平方收敛。
一般迭代法的收敛速度还可以是p阶收敛的。设φ ( x ) varphi(x)φ(x)在x = φ ( x ) x=varphi(x)x=φ(x)的根x ? x^*x?附近有连续的p阶导数，且φ ′ ( x ? ) = φ ′ ′ ( x ? ) = ? = φ ( p ? 1 ) ( x ? ) = 0 , φ ( p ) ( x ? ) ≠ 0 varphi'(x^*)=varphi''(x^*)=cdots=varphi^{(p-1)}(x^*)=0,varphi^{(p)}(x^*)
eq 0φ′(x?)=φ′′(x?)=?=φ(p?1)(x?)=0,φ(p)(x?)?=0，则迭代过程x k + 1 = φ ( x k ) x_{k+1}=varphi(x_k)xk+1?=φ(xk?)是p阶收敛的。
在用迭代法求解方程的根时，可以先判断迭代函数的收敛速度，然后再具体计算。
2. 收敛过程的加速
一个收敛的迭代过程，只要迭代次数足够多，就可以使计算结果达到任意指定的精度。但是，如果收敛过程过于缓慢、计算工作量过大，则在实际计算过程往往要考虑加速收敛过程的问题
