数量积性质
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发布时间：2024-10-23 17:44
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时间：2024-10-25 09:08
向量数量积的基本性质表明，对于非零向量a和b，夹角θ下的关系如下：
夹角余弦等于数量积除以模长之积：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)
当向量同向或反向时，数量积等于模长的乘积：同向时a·b = |a| * |b|，反向时a·b = -|a| * |b|
数量积的模长小于等于向量模长的乘积：|a·b| ≤ |a| * |b|
垂直向量的数量积为零：a·b = 0等价于向量a与b垂直
向量数量积的运算规律包括交换律、分配律以及与标量的结合性。例如，标量乘法与数量积的结合律是：(λα)·β = λ(α·β) = α·(λβ)。数量积的平方等于向量模长的平方，α·α = |α|^2，并且零向量的数量积为零。
向量数量积在几何中的应用广泛，如勾股定理的证明：在直角三角形ABC中，|CA|^2 + |CB|^2 = |AB|^2，因为垂直的向量数量积为零。菱形的对角线也满足垂直性，即在菱形ABCD中，AC与BD的数量积为零，AC·BD = 0，从而证明它们垂直。
