大学数学极限,第一题和第三题

发布网友发布时间：2024-10-23 01:33

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热心网友时间：2024-10-24 14:58

1、若对于任意的x属于区间I，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间I上的有界函数。其中m称为f(x)在区间I上的下界，M称为f(x)在区间I上的上界。
证明：充分性：
已知f(x)在X上有界，则存在M>0，使得任意x∈X，有|f(x)|<M
因此-M<f(x)<M，则f(x)既有上界又有下界。
必要性：
已知f(x)在X上既有上界又有下界，则存在a,b，且b>a，使得f(x)<b，且f(x)>a
（1）若|b|>|a|，则b>0，且-b<a成立，
因此-b<a<f(x)<b，得|f(x)|<b，因此f(x)有界。
（2）若|a|>|b|，则a<0，因此-a>0，得-a>b，
因此a<f(x)<b<-a，得|f(x)|<-a，得f(x)有界。

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