托勒密定理证明

发布网友发布时间：2024-10-23 02:49

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热心网友时间：2024-10-31 19:13

在任意凸四边形ABCD中，通过构造相似三角形进行证明。首先，作△ABE，使其满足∠BAE=∠CAD和∠ABE=∠ACD，连接DE。可以得出△ABE与△ACD相似，从而得到BE/CD=AB/AC，即BE·AC=AB·CD（1）。接着，由△ABE与△ACD的相似性，可以推出AD/AC=AE/AB，并且∠BAC=∠EAD，进而△ABC与△AED相似，得出ED·AC=BC·AD（2）。将（1）和（2）相加，得到AC（BE+ED）等于AB·CD与AD·BC之和。

如果四边形ABCD是圆的内接四边形，当BE+ED等于BD时，等式成立，这就是著名的托勒密定理。在复数表示法中，将顶点A、B、C、D的坐标表示为复数，利用复数恒等式和三角不等式，可以进一步证明托勒密定理是圆内接四边形性质的体现。

对于圆内接四边形ABCD，具体证明过程如下：在弦BC上，圆周角∠BAC等于∠BDC，而AB上的∠ADB等于∠ACB。在AC上选取点K，使得∠ABK等于∠CBD，通过相似三角形的性质，得AK·BD等于AB·CD，CK·BD等于BC·DA，两者相加即得AC·BD的值等于两边对边乘积之和。

更一般地，对于四边形ABCD，其广义托勒密定理表述为：对角线长m和n，边长a、b、c、d之间的关系为m^2*n^2等于a^2*c^2+b^2*d^2减去2abcd*cos(A+C)。这个定理扩展了托勒密定理的适用范围，不仅限于圆内接四边形，还适用于所有四边形。

扩展资料

定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．