线性代数~数量积
发布网友
发布时间：2024-10-23 01:53
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-05 06:16
以坐标原点[公式]为起点，方向与向量[公式]相同，长度与向量[公式]相等的向量[公式]，可以理解为将[公式]平移到起点为[公式]的向量。根据平面基本定理，存在唯一的实数对[公式]，使得[公式]，因此称实数对[公式]为向量[公式]的坐标，记作[公式]。这就是[公式]的向量表示。其中[公式]是点[公式]的坐标。例如，下图中所示：
对于*向量空间，可以通过类比得到。
1.数量积
介绍了向量的三种表示方式后，接下来我们来讨论什么是数量积。
数量积有许多别称，如：
对于每种向量表示方式，向量之间的数量积应该如何表示呢？
1.1代数表示法下的数量积
使用代数表示法来表示向量只是为了方便，给向量定义一个标识符，没有实际含义。因此，对于两个向量[公式]，将向量积记作[公式]。下面都会用这种直观的记号来表示两个向量的数量积。
还有以下几点需要说明：
1.2几何表示法下的数量积
如果使用几何表示法表示两个向量[公式]，如下如所示（他们的起点和终点都是任意的）：
现在我们将两个向量的起点放到同一个位置上，通过平移得到的共起点所形成的夹角，这也就是两个向量的夹角，如下图所示：
会发现两个向量之间会有一个夹角，我们用模[公式]分别表示向量[公式]的长度，两个向量之间的夹角记为[公式]，我们把数量积记为[公式]。由于向量积的结果是一个标量，那么也就没有方向可言。
向量投影：
向量[公式]在向量[公式]上的投影表示为[公式]，如下图所示：
这里使用[公式]来表示向量[公式]在向量[公式]上的投影，通过式子可以看出，投影是一个标量值，没有方向。我们可以将[公式]代入上面的投影公式中，得到向量[公式]在向量[公式]上的投影为[公式]。
通过上面介绍的投影的概念，我们可以得到两个向量数量积的几何意义：数量积[公式]等于[公式]的长度[公式]与[公式]在[公式]的方向上的投影[公式]的乘积。
两个向量的数量积的重要性质：
依照上面的逻辑，我们可以得到数量积的运算律：
1.3坐标表示法下的数量积
在前面介绍向量的坐标表示法时，提到可以将坐标轴上的任意向量表示为坐标轴上的单位向量为基底的形式。如在平面直角坐标系中[公式]，同理对于三维坐标下的任意向量表示都可以表示为[公式]的形式，其中[公式]为向量[公式]将始点移动到坐标原点[公式]时的各个坐标轴下的坐标值。那么现在在坐标形式下的两个向量的向量积应该如何表示呢？在三维坐标下有两个向量[公式]，他们的坐标表示如下：
[公式]，[公式]，我们可以把数量积表示为[公式]，由数量积的运算规则可以对其展开，如下：
[公式]，前面提到向量[公式]为坐标轴上的单位向量，也就是如下图所示：
由上图可以看出：
整理可以得出数量积的坐标表达式，即[公式]。
所以得到向量积的坐标表示：
设两个向量的坐标为[公式]，则[公式]
两个向量夹角余弦的坐标表示式，用于衡量两个向量相似度：
设[公式]，则当[公式]时，有：
[公式]
