不等式atb≥2√(ab)成立当且仅当什么?

发布网友发布时间：2024-10-23 01:48

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热心网友时间：2024-10-30 05:19

基本不等式是一种在数学中常用的不等式关系，其中"atb ≥ 2√(ab)" 是基本不等式的形式之一，其中 a 和 b 是非负实数。
当我们将不等式"atb ≥ 2√(ab)" 进行简化和推导时，可以得到以下理解：
1. 证明 atb ≥ 2√(ab)：我们可以将不等式左侧的 atb 拆分为 (a√b)·(b√a)，然后应用算术-几何均值不等式 (AM-GM不等式)。根据算术-几何均值不等式，(a√b)·(b√a) 的值最小当且仅当 a√b = b√a，即 a = b。当 a = b 时，不等式变为 a² ≥ 2a²，即 1 ≥ 2，这是一个不成立的结论。因此，我们可以推导出 a ≠ b 时，atb ≥ 2√(ab)。
2. 说明 a-b 时取最小值：当我们将 a-b 代入不等式中，可以得到 (a-b)·b ≥ 2√((a-b)b)，简化后得到 b² - ab + 2ab - 2b√(ab) ≥ 0。将其拆分为两个部分，得到 (b-√(ab))² ≥ 0，这是一个恒成立的结论。因此，当 a-b 时，不等式取得最小值，最小值为 0。
综上所述，对于不等式 atb ≥ 2√(ab)，它成立当且仅当 a ≠ b，并且取得最小值当且仅当 a = b。