大一数学第17小题为什么是无界,无界和无穷大有什么区别

发布网友发布时间：2024-10-23 03:59

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热心网友时间：2024-11-06 04:30

首先比较一下无穷大和无界的区别。当x趋于∞时，无穷大的定义是：对任意的M>0，存在X>0，使得|x|>X时，有|f(x)|>M；而对于无界，可以根据有界的定义及对偶法则得到定义：对任意M>0，存在x，使得|f(x)|>M。对比这两个定义，可以发现无穷大的要求要比无界高，因为无穷大要求从函数的某一点起，后面所有的函数值都要可以大于任意给定的正数，而无界只要求存在某些可以大于任意给定正数的点即可，形象地说就是，无穷大量（从某点后）整体是持续增大的，只能有较小的波动，而无界量增大过程中可以伴随着很大的波动。从定义还可以得到无穷大量一定无界，但无界不一定是无穷大量，也就是说无穷大比无界更“强”的概念。例如函数y=xsinx，取数列xn=2nπ+π/2，则当n趋于∞时xn也趋于∞，这时yn=(2nπ+π/2)sin(2nπ+π/2)=2nπ+π/2可以大于任意给定正数M，因此y无界，但是取另一数列xn=2nπ，则yn=(2nπ)sin(2nπ)=0，即在x趋于∞的过程中y无限次取0，这显然不满足无穷大的要求，因此x趋于∞时y不是无穷大量。