证明:n阶方阵a是数量矩阵(即a=ae)的充分必要条件是,a的不变因子都不是...
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发布时间：2024-10-01 16:35
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时间：2024-11-21 01:58
则xE－A为其特征矩阵。
当A＝aE时候，xE－A的不变因子为x-a,...,x-a
(共n个),
因而A的不变因子不是常数1.
当A的不变因子都不是常数时，即是A的不变因子均满足次数大于0，不妨设不变因子分别为d1(x),...,dn(x).
因为d1(x)|d2(x),
d2(x)|d3(x),...,dn-1(x)|dn(x),且|xE-A|的次数为n，且等于d1(x)d2(x)...dn(x).
所以A的全部不变因子都相同，不妨设为x－a，
因此A相似于一个数量阵，不妨设A＝X^{-1}(KE)X,
从而A＝kX^{-1}X=kE,
即是A是数量矩阵。
