动态规划的基本思想是什么?
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发布时间：2024-10-01 10:02
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时间：2024-10-12 00:12
动态规划是一种用于解决优化问题的算法设计范式，它通过将复杂问题分解为更简单的子问题并存储子问题的解决方案来实现高效解法。其核心思想体现在两个关键属性上：
最优子结构：任何最优解都可以由更小的子问题的最优解组合而成。这意味着，为了解决原始问题，我们首先需要解决一系列更小的问题，并将它们的结果结合在一起。
重叠子问题：在递归分解问题的过程中，我们可能会反复遇到相同的子问题。动态规划通过存储已解决子问题的答案，避免了重复计算，从而提高了效率。
动态规划的实现方式有两种主要策略：自顶向下（记忆化递归）和自底向上（动态规划表）。
记忆化递归（记忆）：采用递归方法解决子问题，并在解决每个子问题后将其结果缓存起来。这样，当再次遇到相同的子问题时，可以直接使用缓存的结果，无需重新计算。
动态规划表（制表）：从底向上解决子问题，并构建一个表格来存储每个子问题的解。这种方法通常使用循环而非递归来实现，效率更高且易于理解。
动态规划还涉及关键步骤，如问题分类、状态定义、状态间关系的确定，以及最终解决问题的策略。下面是一些具体应用的实例和习题练习，以加深对动态规划的理解。
例题练习：
1. **递归爬楼梯**：问题描述为：有n层楼梯，站在最底层的人想爬到第n层楼梯。这个人一次可以爬1级楼梯，也可以爬2级楼梯，任务是计算一个人可以到达顶部的路径数。
**使用递归解决**：递归关系为 `ways(n) = ways(n-1) + ways(n-2)`，对应于从第(n-1)层和第(n-2)层爬到第n层的路径数。
**使用动态规划解决**：通过记忆化递归或动态规划表，可以避免重复计算子问题，得到更高效解法。
2. **动态规划解决步骤**：
- 识别问题是否具有最优子结构和重叠子问题特性。
- 定义状态，通常为问题的一个参数，用于描述问题的局部情况。
- 确定状态间的关系，通常通过递推公式或转移方程表示。
- 使用记忆化递归或动态规划表构建解，避免重复计算。
3. **子集和问题**：给定一组非负整数和一个值和，任务是检查给定集合中是否存在一个子集，其和等于给定的和。
**递归解决**：利用递归关系 `isSubsetSum(set, n, sum) = isSubsetSum(set, n-1, sum) | isSubsetSum(set, n-1, sum-set[n-1])`，并定义边界条件。
**动态规划解决**：通过构建一个二维数组记录子问题的解，避免重复计算。
4. **背包问题**：给定N个物品，每个物品具有重量和价值，任务是选择最优化的物品组合，使总价值最大且总重量不超过给定的背包容量。
**动态规划解决**：通过迭代构建一个表格，记录前i个物品在不超过重量j的情况下的最大价值。
5. **硬币汇换问题**：给定不同面额的硬币数组和一个目标金额，任务是计算最少需要多少硬币来达到目标金额。
**动态规划解决**：通过动态规划表或递归记忆化方法求解，避免重复计算子问题。
通过这些实例和练习，可以深入理解动态规划的基本思想和实现方法，并在实际问题中灵活应用。动态规划在解决具有最优子结构和重叠子问题的优化问题时展现出了显著的效率优势，是算法设计中的重要工具之一。
