设A是n阶方阵,若有正整数k,使得A^k=E,证明A相似于对角矩阵
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发布时间：2024-10-01 10:24
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时间：2024-10-18 04:39
如果A不可对角化， 根据亚当标准型，存在 两个非零向量 x1, x2, 及一个非零特征根a, 使得：
Ax2 = a x2, Ax1 = ax1 + x2.
则:
A^2x1 = A(ax1 + x2) = a^2 x1 + 2ax2
A^3x1 = A(a^2x1 + 2ax2) = a^3 x1 + 3a^2 x2
....
A^k x1 = A(a^(k-1)x1 + (k-1)a^(k-2)x2) = a^k x1 + ka^(k-1)x2
A^k = E ==> A^k x1 = x1, ===> ka^(k-1) = 0, 矛盾！
所以A可以对角化，即A相似于对角矩阵
