ln(1+x+x^2)当x-0时为什么不能用等价无穷小替换
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发布时间：2024-10-01 14:43
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时间：2024-12-13 11:14
lim[x->0,ln(1+x)/sinx]
这时ln(1+x)是x的等价无穷小，sinx是x的等价无穷小，所以都可以换过来
lim[x->0,ln(1+x)/sinx]=lim[x->0,x/x]=1.
如果是参加加法减法甚至是乘幂等运算，这时视情况而定，但是，对于数学来说，如果一种方法有时有效，有时失效的话，就最好不要用，否则很容易出错，例如
lim[x->0,(x-sinx)/x^3]
如果把sinx换成x，得到极限值为0，那就错了，你用两次洛比达法则可以求一下这个极限
lim[x->0,(x-sinx)/x^3]=lim[x->0,(1-cosx)/(3x^2)]=lim[x->0,sinx/(6x)]=1/6
至于你的题目，替换也是可以的，但严格的解题，最好直接用洛比达法则求，这时分母里面的(1-cosx)与x^2/2是等价无穷小(x->0),可以替换.
所以
lim[x->0,[ln(1+x+x^2)-ln(1-x+x^2)]/[x(1-cosx)]]
=lim[x->0,2[ln(1+x+x^2)-ln(1-x+x^2)]/x^3]
=lim[x->0,2[(2x+1)/(x^2+x+1)-(2x-1)/(x^2-x+1)]/(3x^2)]
=lim[x->0,4(1-x^2)/[3x^2(x^2+x+1)(x^2-x+1)]]
=∞
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时间：2024-12-13 11:14
lim(ln(1+x)+x^2)/2
=lim(1/(1+x)+2x)
当x趋于0
第二个极限可以用x=0带入得1
根据等价无穷小的定义，相除极限为1，所以是等价无穷小
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时间：2024-12-13 11:15
ln(1+x+x^2)～x+x^2
ln(1+x+x^2)～(x+x^2)-1/2(x+x^2)^2+o(x^3)
同样展开另外的一个:
ln(1-x+x^2)～(-x+x^2)-1/2(-x+x^2)^2+o(x^3),
分母-1/2x^3+o(x^3),
结果 ∞
下面用洛比达法则求:
原式=lim[(2x+1)/(1+x+x^2) - (2x-1)/(1-x-x^2)]/[(1-cosx)+xsinx]
=lim[(2x+1)(1-x+x^2)-(2x-1)(1+x+x^2)]/[sinx+(x+sinx)]
当x=0时,分子->2,分母->0,
极限为∞
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时间：2024-12-13 11:15
=lim[(2x+1)(1-x+x^2)-(2x-1)(1+x+x^2)]/[sinx+(x+sinx)]
当x=0时,分子->2,分母->0,
