数学问题:证明断点类型

发布网友发布时间：2024-10-01 14:42

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热心网友时间：2024-10-20 08:32

判断间断点类型首先要考虑该点处的左右极限是否存在，都存在为第一类间断点，至少有一个不存在为第二类间断点。而函数在某点x0处的极限存在（左右极限同样适用），要求x沿任意数列xn趋于x0时，极限liimf(xn)都存在且相等。本题中对于任意一点x0（无论x0是有理数还是无理数），都可以分别取有理数列rn和无理数列sn，使得rn和sn都趋于x0（这是可以办到的，大致原因是有理数和无理数的稠密性，这里就不多说了），此时根据f(x)的定义，有limf(rn)=x0，limf(sn)=-x0，可以看出，当且仅当x0=0时，limf(rn)=limf(sn)，因此f(x)只在x=0处连续，其它点都是它的间断点，而且左右极限都不存在，而又不等于无穷大，因此属于第二类间断点中的震荡型间断点。