数值算法笔记——特征值和特征向量
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发布时间：2024-09-30 22:05
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时间：2024-09-30 23:20
特征值与特征向量：矩阵世界中的神秘对角线
在矩阵的奥秘中，特征值与特征向量如同一对独特的舞者，共同演绎着矩阵运算的精彩。当一个实矩阵 A</拥有非零向量 x</和实数 λ</，使得 A</* x</= λx</，那么这对组合就揭示了矩阵A的本质特性。值得注意的是，特征值的数量恰恰等于矩阵A的阶数，它们构成了矩阵世界中不可或缺的组成部分。
在更深入的探讨中，特征锥 B</描绘了矩阵的特殊区域，用 Z=λx</的形式定义，它是一个锥体，揭示了特征值与向量的密切关系。然而，寻找特征值的直接方法往往面临挑战，它更像是一个巧妙的数学难题，而非常规的求解路径。
定理1</如同一个奇妙的桥梁，矩阵的相似性保证了特征值的共享，如果 B</和 A</相似，那么它们的特征值阵容是相同的，尽管可能有不同的倍数。这就是矩阵世界中的“遗传定律”。
接下来，我们进入了复数领域，定理2</告诉我们任意复矩阵可以找到它的复共轭对角化形式，对角线上的数值正是A的特征值，这是矩阵对称性的强大体现。
基于这些定理，我们推出了几个重要结论，如特征值的传递性（命题2.1</），特征值对多项式的适应性（命题2.2</），以及特征向量线性无关性的关键推论（推论3.1</和 3.2</）。
当我们谈论扰动，推论3.3</揭示了一个有趣的现象：即使对矩阵进行微小调整，特征值的扰动遵循简单的一阶近似规则。对于对称矩阵，定理4</揭示了其对角化特性，提供了通过酉矩阵找到对角化的钥匙。
在迭代算法的世界，幂迭代法如一颗璀璨的明星，利用高次幂次凸显最大特征值，通过迭代*近其对应的特征向量。而 逆幂迭代法</则如它的反光镜，找到了最小特征值的途径。随着问题的深入，瑞利商迭代法</应运而生，它在处理复杂矩阵特征值分布时显得更为灵活。
当我们面临多组特征值和向量的求解，QR迭代法</与 Householder变换</的结合，为我们揭示了正交矩阵的奥秘，一步步*近矩阵的对角化形式。
在每一步的探索中，我们都有一个清晰的问题导向：如何倒*征向量，如何构造初始T0，以及如何选择适当的位移。这些问题的答案隐藏在矩阵的迭代过程中，它们是解开矩阵世界谜团的关键线索。
