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...交点为I,作点P使IP=OP,求证点P在线段OB的垂直平分线上。_百度...

发布网友 发布时间:2024-10-01 00:40

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热心网友 时间:2024-10-09 08:40

证明:

连接BP,

∵IP=OP,

∴∠PIO=∠POI,

∵∠PIO=∠OAI+∠AOI=45°+x【按你标注的】

  ∠POI=∠POB+∠IOB=45°+∠POB,

∴∠POB=x,

∴∠POB=∠PAB,

∴A、O、P、B四点共圆,

∵∠OAP=∠PAB,

∴OP=BP,

∴点P在OB的垂直平分线上。

【注】四点共圆现在已停用,可用相似证明。

设AP与OB交于C,

∵∠OAP=∠CAB=x,

  ∠APO=∠ABC=90°-2x【易证】

∴△OAP∽△CAB(AA),

∴AO/AC=AP/AB,

又∵∠OAC=∠PAB,

∴△OAC∽△PAB(SAS),

∴∠APB=∠AOC=90°,

∴∠CBP=∠CAO=x,

∴∠POC=∠CPP=x,

∴OP=BP,

∴点P在OB的垂直平分线上。

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