已知函数fx=x^2-x gx=Inx
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发布时间：2024-09-30 16:27
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时间：2024-10-14 02:27
x=1时显然成立。
1）x>1时a<=f(x)/g(x)=(x^2-x)/lnx,记为h(x),
h'(x)=[(2x-1)lnx-(x-1)]/(lnx)^2,
设F(x)=(2x-1)lnx-(x-1),则F'(x)=2lnx+(2x-1)/x-1=2lnx+(x-1)/x>0,
∴F(x)是增函数，F(1)=0，∴h'(x)>0,
x→1时，h(x)→（2x-1)/(1/x)→1，
∴a<=1.
2)0<x<1时a>=h(x),仿上，F'(x)<0,F(x)是减函数，F(x)<F(1),h'(x)<0,
也得a<=1.
综上，a<=1.
H(x)=x^2-x+mlnx,x>0,
H'(x)=2x-1+m/x=(2x^2-x+m)/x,
依题意x1,x2是2x^2-x+m=0的两正根，
∴x1+x2=1/2,x1x2=m/2,m=2x1x2>0，
2x1x2<(x1+x2)^2/2=1/8,
∴0<m<1/8,为所求.
x1<x<x2时H'(x)<0,H(x)是减函数，而x1<1/4<x2,
∴H(x2)<H(1/4)=-3/16+2mln2<(4ln2-3)/16.
