f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,│f'(x)│≤½f(x),证明f(x)≡0

发布网友发布时间：2024-09-30 15:09

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热心网友时间：2024-10-18 03:37

此题如果f(x) 恒=0，结论似乎并不成立。所以 f''(x)/f'(x)≠2/(1-x) 应该暗示了 f'(x) 恒不为0. 下面假设题中有条件 f'(x) 恒不为0. 设 g(x)=(1-x)f(x), 0<=x<=1 g'(x)=(1-x)f'(x)-f(x) g(0)=g(1)=0 ===》存在 0<t<1 使得 g'(t)=0, 即 f(t)/f'(t)=1-t. 下面证明此解唯一：如果有两个解 t, 及 t1, 0<t<t1<1 使得 g'(t)=g'(t1)=0 则存在 t< t0<t1 使得 g''(t0)=0, g''(x)=(1-x)f''(x)-2f'(x) 于是（1-t0)f''(t0)-2f'(t0)=0 这与 f''(x)/f'(x)≠2/(1-x) 矛盾，所以结论成立。

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