设A、B、C是直线l上的三点,向量OA,OB,OC满足关系:OA+(y-√3s...
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发布时间：2024-09-30 15:35
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时间：2024-11-11 04:04
∵A、B、C三点共线，∴-y+√3sinxcosx+12+sin2x=1----------------------------------------，（2分）
则y=√3sinxcosx+sin2x-12=√32sin2x-12cos2x=sin(2x-π6)
∴f(x)=sin(2x-π6)--------------------------------（4分）
（Ⅱ）可得函数g(x)=f(12x+π3)=sin[2(12x+π3)-π6]=sin(x+π2)=cosx，x∈[0，7π2]-----（5分）
设函数g（x）的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且0≤x1＜x2＜x3≤7π2，
由已知，有x1+x3=2x2，另一方面，结合图象的对称性有x1+x22=π，x2+x32=2π--------------------（7分）
∴x1=2π-x2，x3=4π-x2，代入x1+x3=2x2，解得x2=3π2------------（8分）
再代入g（x）=cosx，得g（x2）=cos3π2=0，所以b=0------------------（9分）
（Ⅲ）不等式h（x1）≤f（x2）恒成立，只需要h（x）max≤f（x）min即可------------（10分）
令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则t2=1+2sinxcosx=1+sin2x，∴sin2x=t2-1
又t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，x∈[0，π2]，则t∈[1，√2]
函数h（x）转化为y=√2t+t2-1-a=(t+√22)2-a-32，t∈[1，√2]，
当t=√2时，函数取得最大值h（x）max=3-a-----------------------------------（12分）
又f(x)=sin(2x-π6)在x∈[0，π2]上的最小值为f(x)min=-12------------------（13分）
由h（x）max≤f（x）min得3-a≤-12即a≥72，
故实数a的取值范围是[72，+∞)--------14分
