主成分分析法基本信息
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发布时间：2024-10-01 06:02
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时间：2024-11-04 04:08
主成分分析法（PCA）是一种数学上的数据变换技术，其核心在于将一组相关的变量通过线性转换转化为一组不相关的变量，这些新变量按照方差的递减顺序排列。其核心步骤是保持总方差不变，使第一主成分具有最大的方差，第二主成分的方差次之，且与第一主成分相互独立，以此类推，直到所有I个变量都有相应的主成分。
在这个过程中，关键的计算步骤包括：首先，计算p维正交化向量Li，满足Li*Li=1，使得Zi（即主成分）之间彼此不相关。其次，通过协方差矩阵Σ，找到其半正定对称特征值λi（按照从大到小排序）及其对应的特征向量，这些向量就是主成分Zi的系数向量Li。主成分的方差贡献率定义为λi除以Σ的总和λj，一般要求提取的k个主成分的方差贡献率之和大于85%。
PCA的主要目标是通过减少变量数量，解释原始数据中的大部分变异，将高度相关的变量转化为独立或不相关的表示，从而实现数据的降维。通过选择比原始变量数少但能解释大部分数据的主成分，我们能够构建出综合性的指标来描述数据。因此，PCA实质上是一种有效的数据简化工具。
具体步骤包括数据标准化，计算相关系数矩阵，通过一系列正交变换消除非对角线元素，得到特征根xi（反映了每个主成分的变异量），并按大小排序。然后，根据特征根及其对应的特征向量，计算每个主成分的贡献率Vi，以及解释各个主成分的物理意义。
扩展资料
主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太 多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。
