为什么任意连续n个正整数的积一定能被1*2*3*...*n整除?

发布网友 发布时间：2024-10-01 05:35

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热心网友 时间：2024-10-10 01:43

根据抽屉原理，连续N个数中，必有且仅有1个数能被N整除，即
连续2个数中，必有1个数能被2整除、
连续3个数中，必有1个数能被3整除、
……
因连续的N个数，对被N除的余数，有且必有从0到N-1这N种。

按此推论，连续N个数中，必存在数字能被2、3、……、N-1、N整除。即
连续3个数中，必有一些数能被2、3整除、
连续4个数中，必有一些数能被2、3、4整除、
……

综上，连续N个数，必含有因数1、2、3、……、N，即
n个连续正整数之积一定能被n!整除

热心网友 时间：2024-10-10 01:44

后面的就是个乘法，除以n个正整数的积，就是这个程式的幂减一次

热心网友 时间：2024-10-10 01:50

有一种简单的看法:
不妨设连续n个正整数为m-n+1, m-n+2,..., m.
可知它们的乘积为m!/(m-n)!, 除以n!得m!/(n!(m-n)!).
注意到m!/(n!(m-n)!)恰好为m中选n的组合数C(m,n), 因此一定是整数.
即得m!/(m-n)!被n!整除.

热心网友 时间：2024-10-10 01:43

根据抽屉原理，连续N个数中，必有且仅有1个数能被N整除，即
连续2个数中，必有1个数能被2整除、
连续3个数中，必有1个数能被3整除、
……
因连续的N个数，对被N除的余数，有且必有从0到N-1这N种。

按此推论，连续N个数中，必存在数字能被2、3、……、N-1、N整除。即
连续3个数中，必有一些数能被2、3整除、
连续4个数中，必有一些数能被2、3、4整除、
……

综上，连续N个数，必含有因数1、2、3、……、N，即
n个连续正整数之积一定能被n!整除

热心网友 时间：2024-10-10 01:43

有一种简单的看法:
不妨设连续n个正整数为m-n+1, m-n+2,..., m.
可知它们的乘积为m!/(m-n)!, 除以n!得m!/(n!(m-n)!).
注意到m!/(n!(m-n)!)恰好为m中选n的组合数C(m,n), 因此一定是整数.
即得m!/(m-n)!被n!整除.

热心网友 时间：2024-10-10 01:47

后面的就是个乘法，除以n个正整数的积，就是这个程式的幂减一次