在齐次线性方程组Am×nx=0中,若秩(A)=k且η1,η2,…,ηr是它的一个基 ...

∵Am×nx=0的基础解系所含解向量的个数=n-r（A）=k∴r（A）=n-k，∵r（A）=n时，Ax=0只有零解∴当k=n时，方程组Am×nx=0只有零解．

r = n - r(A) = n-k

【答案】：因为n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为r(r<N)所以AX=0的每个基础解系都包含N一R个向量设AX=0的解空间为WΗ1η2……ηn-r为Ax=0的一个基础解系α1α2……αn-r为Ax=0的任意n—r个线性无关的解向量α1α2……αn-r∈Wη1η2……ηn-r∈W因为dim(W)=n一r且...

【答案】：η1＋k(η1－η2)(k为任意常数)【考点点击】本题在2006年1月真题第二大题第16小题中考查过，主要考查的知识点为非齐次线性方程组的通解。【要点透析】 Aχ＝0的基础解系中只有3－r(A)＝1个解向量η1－η2，故Aχ＝b的通解可写成η1＋k(η1－η2)(k为任意常数)。

所谓基础解系,就是Ax=0的解向量组的一个极大无关组。齐次方程组Ax=0恒有解(必有零解)非零解时,根据齐次方程组解的性质,解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解。设η1,η2,…,ηt是Ax=0的基础解系,即(1)它们是都是Ax=0的解(2)它们线性无关(3)Ax=0的任一解都可有它们线性表出。 孤舟独...

齐次线性方程组的解都可由其基础解系线性表示 所以由齐次线性方程组的解构成的向量组的秩 <= 基础解系所含向量的个数 n-r 所以解的个数大于 n-r 时必线性相关 非齐次线性方程组最多有 n-r+1 个解向量线性无关 解的个数大于 n-r+1 时线性相关 ...

【答案】：若A=0则结论显然成立设A≠0设rank(A)=r因为AB=0因此B的列向量β1β2……βm中每个向量都是n元齐次线性方程组AX=0的解． 所以β1β2……βm可以由AX一0的一个基础解系η1η2……ηn-r线性表出故向量组β1β2……βm的秩≤n—r即rank(B)≤n一r所以rank(A)+rank(B)...

（1）设k1η1+k2（η1-η2）=0，则k1Aη1+k2A（η1-η2）=0已知η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，因此Aη1=Aη2=b∴k1b=0而b≠0∴k1=0∴k2（η1-η2）=0又η1与η2是互不相同的，即η1-η2≠0∴k2=0∴向量组η1，η1-η2线性无关（2）由秩r（A）=...

秩为n-1，说明方程组只有一个自由未知量，基础解系中应该只有一个向量（且是非0向量）。现在a1，a2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解向量，其中可能有一个为0向量，但这两个向量的差绝对不会是0向量，所以通解是k（a1-a2）。

【解法1】利用排除法若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩（A）=n-秩（B），即秩（A）=秩（B），命题③成立，可排除（A），（C）；但反过来，若秩（A）=秩（B），则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A＝1000，B＝0001，则秩（A）=秩（B）=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除（D...