泛函分析笔记(1)—度量空间
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发布时间：2024-10-01 09:25
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时间：2024-10-27 09:15
本文将开始探讨泛函分析的基础概念，特别是度量空间。掌握泛函知识对于理解PDE至关重要，但本书将侧重于定义和定理，而非证明。我作为初学者，依赖于数学分析、高等代数和实变函数的预备知识，参考孙炯的《泛函分析》第二版和周民强的《实变函数论》第三版进行学习。每个章节的内容将逐步深入，本文首先介绍度量空间的基本构造和性质。
第一章：度量空间
度量空间由非空集合 [formula] 和一个满足特定性质的距离函数定义。非负性、正定性、对称性和三角不等式是构成度量空间的关键要素，记为 [formula] 。收敛性是度量空间的核心概念，表示序列 [formula] 在 [formula] 下的极限行为。定理确保了收敛的唯一性和子序列的收敛性。
开集与连续映射的概念在度量空间中扮演重要角色。开集和闭集的定义有助于理解集合的边界性质，而连续映射保证了集合结构的传递性。定理 1.2.7 描述了映射的连续性如何影响开集的性质。
闭集、可分性与列紧性的概念进一步扩展了度量空间的结构分析。闭集是其补集的开集，列紧性则涉及到无限序列的收敛性。完备度量空间是所有序列都有极限的关键特性，包含闭球套定理和压缩映射原理这样的重要定理。
