咸鱼的微积分笔记——条件极值,拉格朗日乘数法

发布网友发布时间：2024-10-01 07:17

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热心网友时间：2024-10-09 11:51

前言
条件极值与无条件极值一同学习时，初见条件极值，作者感到比上一篇无条件极值的笔记易于理解。无条件极值的求解往往涉及一元函数，一阶导数和二阶导数的计算，相对直觉。然而，深入思考后，作者意识到，仅凭直觉理解条件极值的求解过程，忽略了教材对于这一概念的详细阐述。

条件极值的使用情况

教材花费大量篇幅讲解条件极值，说明了在很多情况下，直接将条件极化为无条件极值并不简单。例如，对于三元函数的条件极值问题，教材指出，从约束条件解出某变量的表达式往往并不方便，因此引入了拉格朗日乘数法，用于直接求解条件极值问题。

条件极值点处，法向量与梯度共线

在条件极值问题中，作者以三维场景为例，将函数视为一座山，约束条件作为确定一个垂直平面的曲面，截面即为在约束下的函数曲线。极值点处，曲线与等高线相切，意味着曲线的法向量与等高线的法向量共线，而等高线的法向量与函数在该点的梯度共线。因此，条件极值点处，梯度与法向量共线，通过拉格朗日乘数法可以联立方程求解。

和书上的区别

在拉格朗日乘数法中，书上的表达形式与作者的理解存在细微差异，主要在于向量的方向。不过，作者指出，从几何角度考虑，这种差异并不影响最终解出极值点。拉格朗日乘数法求解的是在约束条件下达到极值的点，而无约束条件下极值的求解则需要考虑所有方向的条件。

总结

总结而言，条件极值的求解需要考虑约束条件对函数的影响，通过拉格朗日乘数法联立方程求解极值点。与无条件极值相比，条件极值的求解过程更为复杂，需要借助几何直观和数学工具。