已知函数f(x)=lnx−12ax2+(a−1)x(a∈R且a≠0).?
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发布时间:2024-10-01 04:03
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时间:2天前
解题思路:(I)根据对数函数的定义求得函数的定义域,再根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数,然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间;
(II)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),使得AB存在“中值相依切线”,根据斜率公式求出直线AB的斜率,利用导数的几何意义求出直线AB的斜率,它们相等,再通过构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论.
(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞).…(1分)
由已知得,f′(x)=
1
x−ax+a−1=−
a(x−1)(x+
1
a)
x.…(2分)
(1)当a>0时,令f'(x)>0,解得0<x<1; 令f'(x)<0,解得x>1.
所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.…(3分)
(2)当a<0时,
①当−
1
a<1时,即a<-1时,令f'(x)>0,解得0<x<−
1
a或x>1;
令f'(x)<0,解得−
1
a<x<1.
所以,函数f(x)在(0,−
1
a)和(1,+∞)上单调递增,在(−
1
a,1)上单调递减;…(4分)
②当−
1
a=1时,即a=-1时,显然,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; …(5分)
③当−
1
a>1时,即-1<a<0时,令f'(x)>0,解得0<x<1或x>−
1
a;
令f'(x)<0,解得1<x<−
1
a.
所以,函数f(x)在(0,1)和(−
1
a,+∞)上单调递增,在(1,−
1
a)上单调递减.…(6分)
综上所述,(1)当a>0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(2)当a<-1时,函数f(x)在(0,−
1
a)和(1,+∞)上单调递增,在(−
1
a,1)上单调递减;
(3)当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(4)当-1<a<0时,函数f(x)在(0,1)和(−
1
a,+∞)上单调递增,在(1,−
1
a)上单调递减.…(7分)
(Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y=f(x)上的不同两点,且0<x1<x2,
则y1=lnx1−
1
2ax12+(a−1)x1,y2=lnx2−
1
2ax22+(a−1)x2.
kAB=
y2−y1
x2−x1=
(lnx2−lnx1)−
1
2a(x22−x12)+(a−1)(x2−x1)
x2−x1
=
lnx2−lnx1
x2−x1−
1
2a(x1+x2)+(a−1)…(8分)
曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率k=f'(x0)=f′(
x1+x2
2)=[2
x1+x2−a•
x1+x2/2+(a−1),…(9分)
依题意得:
lnx2−lnx1
x2−x1−
1
2a(x1+x2)+(a−1)=
2
x1+x2−a•
x1+x2
2+(a−1).
化简可得:
lnx2−lnx1
x2−x1]=[2
x1+x2,
即ln
x2
x1=
2(x2−x1)
x2+x1=
2(
x2
x1−1)
x2
x1+1.…(11分)
设
x2
x1=t(t>1),上式化为:lnt=
2(t−1)/t+1=2−
4
t+1],
即lnt+
4
t+1=2.…(12分)
令g(t)=lnt+
4
t+1,g′(t)=
1
t−
4
(t+1)2=
(t−1)2
t(t+1)2.
因为t>1,显然g'(t)>0,所以g(t)在(1,+∞)上递增,
显然有g(t)>2恒成立.
所以在(1,+∞)内不存在t,使得lnt+
4
t+1=2成立.
综上所述,假设不成立.所以,函数f(x)不存在“中值相依切线”.…(14分)
,1,已知函数 f(x)=lnx− 1 2 a x 2 +(a−1)x (a∈R且a≠0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是曲线C上的不同两点,如果在曲线C上存在点M(x 0,y 0),使得:① x 0 = x 1 + x 2 2 ;②曲线C在M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值相依切线”.
试问:函数f(x)是否存在“中值相依切线”,请说明理由.