设A是n阶实矩阵,E是n阶单位矩阵,则B=E+A^TA为正定矩阵

所以 X^TBX = X^TX + X^T(A^TA)X > 0 所以 B 正定.,2,A'A为半正定阵显然 E为正定阵 正定阵+半正定阵还是正定阵,0,设A是n阶实矩阵,E是n阶单位矩阵,则B=E+A^TA为正定矩阵 则后面是要证的

证: 首先 (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA 故 A^TA 是对称矩阵.又对任一非零列向量x 由 r(A) = n 知 AX=0 只有零解 所以 Ax ≠ 0 再由A是实矩阵,所以 (Ax)^T(Ax) > 0 即 x^T(A^TA)x > 0 所以 A^TA 是正定矩阵.

利用定义就可以了，对任意的非零向量x x^T(E+A^TA)x=x^Tx+(Ax)^T(Ax)>0

X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)因为A正定,故=(BX)^TA(BX)为正定二次型,于是B^TAB正定

首先,因为 (A'A)' = A'(A')' = A'A,所以 A'A 是对称矩阵.又对任一非零向量 X,由于 r(A) = n,所以 AX ≠ 0.(否则 AX=0 有非零解)所以 X'(A'A)X = (AX)'(AX) > 0.所以 A'A 为正定矩阵.

对任意非零X,由于 r(A+B) = n,所以 (A+B)X ≠ 0所以 AX+BX ≠ 0.所以 AX,BX 不同时为零.又 X'(A'A+B'B)X = X'A'AX + XB'BX= (AX)'(AX) + (BX)'(BX)> 0.(这是由于 AX,BX 不同时为零)所以A'A+B'B是正定矩阵 ......

若r(A)=n，注意Ax＝0的充分必要条件是x＝0。则对任意的非零x，有Ax非零，于是x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)>0，故A^TA正定。反之，设A^TA正定。若r(A)<n，则存在非零向量x使得Ax=0，于是x^TA^TAx=（Ax)^T(Ax)=0，矛盾。故A必满秩。

【答案】：必要性：设BTAB为正定矩阵，对任意的n维列向量X≠0有XT(BTAB)X＞0，即(BX)TA(BX)＞0于是BX≠0，则BX=0只有零解，所以B的列向量组线性无关，r(B)=n．充分性：∵(BTAB)T=BTATB=BTAB，所以BTAB为对称矩阵．当r(B)=n时，BX=0只有零解．即对任意X≠0，BX≠0，由A是正...

B^tAB当m<>n时根本无意义，应该是BAB^t吧，这样的话，设h为任意非零的m*1的向量，则h^t(BAB^t)h= (h^tB)A(B^th)=(B^th)^tA(B^th)>0等价于B^th<>0,即B^th=0只有平凡解h=0,这等价于rank(B)=m,不是n.

由已知, A^T = A 1. (A^2+E)^T = A^2+E 2. 对任一n维向量 x ≠ 0, x^Tx > 0, (Ax)T(Ax)>=0 所以 x^T(A^2+E)x = (x^TA)(Ax) + x^Tx = (Ax)^T(Ax) + x^Tx >0 所以 A^2+E 正定.