为何在开普勒定律一中椭圆轨迹方程用极坐标方程表示时是这样的：r=p/(1
发布网友
发布时间：2022-05-06 23:53
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-08 22:25
设定
这样，角速度是
对时间微分和对角度微分有如下关系：
根据上述关系，径向距离 对时间的导数为：
再求一次导数：
代入径向运动方程
，
将此方程除以
，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程来描述行星轨道：
为了解这个微分方程，先列出一个特解
再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程，
它的解为
这里，
与
是常数。合并特解和与齐次方程解，可以得到通解
选择坐标轴，让
。代回
，
其中，
是离心率。
这是圆锥曲线的极坐标方程，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若
，则
所描述的是椭圆轨道。这证明了开普勒第一定律。[3]
第二定律的证明[2]
开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内，行星与恒星
开普勒定律
的连线扫过的面积相等。O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段
时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。[4]
第三定律的证明[2]
在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以
和
分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见
和
的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为
……………………………………{1}
根据开普勒第二定律，应有
，因此得
……………………………………………{2}
行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为
…………{3}
根据机械能守恒，应有
，故得
……………………{4}
由{2}{4}两式可解得
………………………………{5}
由{5}式和{1}式得面积速度为
椭圆的面积为
,则得此行星运动周期为
…………………………{6}
将{6}式两边平方，便得
注：
是半长轴，
是半短轴，
是半焦距
热心网友
时间：2023-10-08 22:26
的推导方程。
再掌握用积分推导椭圆轨道方程的方法。
百度上都有，要先掌握基础。
